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前言

在之前关于树的学习中，我们接触了二叉树的知识点，以及堆和堆排序的操作。

两个知识点都是超链接，可以点击查看我之前的博客，复习一下这两个知识点哦！

接下来我们要更进一步，学习一下链式二叉树的操作

本篇博客将以知识点讲解+OJ题目验证的方式来展开链式二叉树的内容

1.链式二叉树的基本结构

在学习链式二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。

之前我们提到过，树最优的表示方法是父母孩子表示法。但是对于二叉树这种度固定的树来说，可以直接使用最简单的方法，定义两个指针指向它的左右叶子节点即可

typedef int BTDataType;

typedef struct BTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BTreeNode* left;
	struct BTreeNode* right;
}BTNode;

这里要说明的一件事是：普通树的“增删查改”操作是没有意义的，因为树并不是一个最优的储存结构。所以我们学习链式二叉树的操作时，更多学习的是分治递归思想

2.分治递归思想

什么是分治思想？

举个例子，学校里面需要进行排查，找出本校里面身高最高的人。这时候校长可以去找各个年级的级组长，然后级组长去找各个班主任，班主任让班级里面的小组长统计组员身高数据。

这时候的小组长已经可以返回一个身高最高的值给班主任了，然后再层层上报，校长只需要在最后上报的4个数据中找出一个最高的，即为本校最高的同学

分治策略的思想就是分而治之，即先将一个规模较大的大问题分解成若干个规模较小的小问题，再对这些小问题进行解决，得到的解，在将其组合起来得到最终的解。在上面的例子中，较小的问题就是小组长统计组员身高，并上报。转换成代码语言就是return一个值

更详细的解释可以参考这篇大佬的博客👇
五大常见算法策略之——递归与分治策略

早先学习的递归求斐波那契数就运用了分治的思想👉传送门

int fo2(int a)
{
	if ((a == 1) || (a == 2))
		return 1;
	else
		return (fo2(a - 1) )+( fo2(a- 2));//n-1和n-2项
}

当a=1或者2的时候，就是分治的末端节点，通过return 1开始终止递归

3.前/中/后序遍历

了解了上面所说的分治递归思想后，接下来我们再学习链式二叉树的三种遍历方式

前序遍历：根节点-左子树-右子树
中序遍历：左子树-根节点-右子树
后序遍历：左子树-右子树-根节点

从前序遍历入手，我们来实操一下分治的思想：利用递归，以前序遍历的顺序打印出树中节点的值

假设我们现在创建了一个这样的简单二叉树👇你能想出来前序遍历的打印顺序应该是咋样的吗？

答案是1 2 3 4 5 6

看到这里，你肯定一脸懵逼：啊，咋出来的？

不着急，我们现给打印出来的内容加上它们的末端子树NULL，所以前序遍历的结果是：

1	1 2 3 NULL NULL NULL 4 5 NULL NULL 6 NULL NULL

不卖关子啦，直接下手分析这个遍历结果是怎么出来的！

前面提到了，前序遍历的顺序是：根节点-左子树-右子树

下图能让你更直观地看出来这三种遍历方式的不同

其中前序遍历转换为代码语言就是下面这样

// 二叉树前序遍历 
void BTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{//为了方便理解，把空节点也打印出来
		printf("NULL ");
		return ;
	}
	printf("%d ", root->data);
	BTreePrevOrder(root->left);
	BTreePrevOrder(root->right);
}

在这之中，遇到根节点是NULL的情况，就是分治的末端情况，递归停止

这样说来恐怕还是不清楚，要彻底弄清，我们必须要通过画递归示意图来解决

图中某个单词打错了，画到一半才发现……请忽略它！😭

如果你能理解上图中前序遍历的思路，那中序遍历和后序遍历的操作就非常简单了！猜猜怎么修改前序的代码呢？

没错，只需要更改一下printf的位置就可以了！

// 二叉树中序遍历
void BTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL){
		printf("NULL ");
		return;
	}
	
	BTreeInOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	BTreeInOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL){
		printf("NULL ");
		return;
	}

	BTreePostOrder(root->left);
	BTreePostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

最后打印出来的结果分别是这样的，和上面的示意图完全对应！回到示意图

3.1通过递归遍历计算节点个数

上面的递归，我们打印出了各个节点的值

只需要对其中一个递归的代码进行小修改，将printf改成计数++，就能把它从遍历变成计算二叉树的节点个数

这里我选择指针变量的方式让主函数中能获取计数的结果

// 二叉树节点个数
void BTreeSize(BTNode* root,int* pcount)
{
	if (root == NULL)
		return ;
	
	(*pcount)++;//指针变量，main函数中可调用
	BTreeSize(root->left,pcount);
	BTreeSize(root->right,pcount);
}

你可以使用全局静态变量来进行计数，但是那样的计数会在下一次调用的时候叠加，需要在调用后置0，非常不方便

当然，我贴出来的这个方法也不是最优的，因为它需要创建一个额外的变量count作为参数调用，而不能直接return节点的数量

所以就有了下面这个使用三目操作符? :来进行分治递归，计算节点个数

其中根节点为空是末端情况，返回0
其他情况返回左子树和右子树的节点大小+1（该节点自己）

//进阶方法
int BTreeSize(BTNode* root) {
	return root == NULL ? 0 :
		BTreeSize(root->left)
		+ BTreeSize(root->right) + 1;
}

3.2 用后续遍历的思想销毁树

当我们不需要用二叉树后，需要将其调用的内存释放

问题就来了，如果你释放了根节点，那要咋找到它的左右子树呢？

所以我们在释放的时候，要用后序遍历的顺序来进行释放，即先销毁左右子树，再向上销毁。这样就能避免找不到子树的问题

// 二叉树销毁
void BTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
		return;

	//通过后续遍历的思想来摧毁树
	BTreeDestory(&(*root)->left);
	BTreeDestory(&(*root)->right);
	free(*root);
	*root = NULL;//使用二级指针可以直接在函数中置空根节点的指针
}

3.3前/中/后序遍历OJ题

三道Leetcode OJ题
144. 二叉树的前序遍历
145. 二叉树的后序遍历
94. 二叉树的中序遍历

这里只对前序遍历的题目做出讲解，因为后面两个的思路完全一致，只需稍微更改代码

题目给出一个树，需要你将它以前序遍历的顺序，将各个节点的值保存在一个数组中并返回它

这里的输入用例是“伪代码”，[1,null,2,3]代表1的左子树是NULL，右子树是2；2的左子树是3，右子树是NULL

既然需要用数组来储存，首先我们需要知道这个二叉树一共有几个节点，这样才能方便我们开辟数组

注意：这种接口型题目，数组都必须是动态内存函数malloc开辟的

然后把前序遍历中的printf改成将值放入arr数组中即可！

// 二叉树节点个数
void BTreeSize(struct TreeNode* root,int* pcount)
{
	if (root == NULL)
		return ;
	
	(*pcount)++;
	BTreeSize(root->left,pcount);
	BTreeSize(root->right,pcount);

}
// 前序遍历代码
void BTreePrevOrder(struct TreeNode* root,int*arr,int* i)
{
	if (root == NULL){
		return ;
	}
	
    arr[(*i)++]=root->val;
    //因为在递归调用中需要多次调用不同的i，所以需要取地址
	BTreePrevOrder(root->left,arr,i);
	BTreePrevOrder(root->right,arr,i);
}

int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){
    int count=0;
    BTreeSize(root,&count);//计算树节点个数
    int* arr=(int*)malloc(sizeof(int)*count);//开辟数组

    int i=0;//下标
    BTreePrevOrder(root,arr,&i);
    *returnSize=count;
    return arr;
}

4.计算节点个数

在3.1中已经讲述了计算二叉树节点个数的方法，下面是更细致的节点个数计算

4.1叶子节点个数

众所周知，在这颗二叉树中，只有3、5和6是叶子节点

想要判断一个节点是不是叶子节点，其实非常简单：只要它的左右子树都是空，就是叶子节点了。

以此作为分治的末端条件，只要满足这个条件，就返回1
如果已经遍历到空节点了，返回0
其他情况，返回左子树和右子树的叶子节点个数之和

// 二叉树叶子节点个数
int BTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;

	return BTreeLeafSize(root->left) + BTreeLeafSize(root->right);
}

4.2二叉树第k层节点个数

假设根节点是第1层，要想知道第k层一共有几个节点，需要怎么设计函数呢？

先来这么想：3所在层数对于根来说是第三层，但是对于2来说是第二层，对于3自己来说是第1层

那么，我们是不是可以让第k层往下-1来进行递归呢？

// 二叉树第k层节点个数
int BTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k >= 1);//保证k>=1

	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)
		return 1;

	return BTreeLevelKSize(root->left,k - 1)
        + BTreeLevelKSize(root->right,k-1);
}

4.3二叉树的深度

在之前树的概念学习中，讲解过树的深度（即树一共有几层）

深度和之前举例的校长统计身高很相似，我们需要找出左右子树中较深的那一个并进行返回。末端的条件，就是节点为空的时候，return 0终止递归

// 二叉树深度，即一共有几层
int BTreeDepth(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int left = BTreeDepth(root->left);
	int right = BTreeDepth(root->right);

	return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

注意：这里left+1和right+1是为了计算上节点自己

求二叉树深度OJ题

leetcode上有一道oj题就是求二叉树的最大深度，代码复制上，改个名，搞定！

题目链接：104. 二叉树的最大深度

5.查找树中值为x的节点

在二叉树中查找一个值，基本思想就是把它遍历一遍，判断根节点以及左右子树中是否有x值的节点。

具体的解析，写道下面的代码注释里啦！

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;//节点为空返回空

	if (root->data == x)
		return root;//节点自己就是x，返回节点自己的地址

	BTNode* ret1 = BTreeFind(root->left, x);
	if (ret1 != NULL)//如果左边找到了，返回左节点的地址
		return ret1;

	BTNode* ret2 = BTreeFind(root->right, x);
	if (ret2 != NULL)//如果右边找到了，返回右节点的地址
		return ret2;

	return NULL;//两个都找不到，它自己也不是，返回空
}

6.层序遍历

如同其名，层序遍历就是一层一层地遍历

比如上面这棵树，层序遍历的结果如下

1	1 2 4 3 NULL 5 6

要想实现层序遍历，我们需要借助之前学习的栈和队列知识里的队列👉传送门

在VS项目里面，导入预先写好的队列的头文件和源文件，再引用它就可以了！

这里就能体现出之前预先typedef类型的作用了：只需要更改最先的数据类型，就可以搞定后面的一切！

而引用头文件的时候，因为我们需要在栈的代码中使用二叉树的定义，所以需要先引用二叉树的头文件，再引用队列的头文件

搞定这个后，我们再来讲述一下层序遍历的思路

先插入根节点，然后在根节点出队列的同时，插入它的左右子树的节点
当队列中的值都为NULL时，代表层序遍历完成

所以我们需要入队列的不是节点的值，因为那样无法找到节点的左右子树。入队列的是节点的地址！

// 层序遍历
void BTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root != NULL){//根节点非空，开始入队列
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* head = QueueFront(&q);//取队头数据
		QueuePop(&q);//出队列

		printf("%d ", head->data);
		if (head->left != NULL)
		{
			QueuePush(&q, head->left);
		}
		if (head->right != NULL)
		{
			QueuePush(&q, head->right);
		}
		//层序遍历不需要递归，可以用循环解决问题
	}

	printf("\n");
	QueueDestory(&q);//防止内存泄漏
	return;
}

遍历的结果如下

6.1判断二叉树是否为完全二叉树

学习了层序遍历后，就可以来判断一个二叉树是否为完全二叉树了！

完全二叉树：前k-1层为满二叉树，最后一层不满，但是从左到右分布

具体的思路是

当队列中的队头为NULL时开始遍历，如果队列中都是NULL，代表是满二叉树
如果有非空节点，就不是满二叉树

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root != NULL) {
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* head = QueueFront(&q);//取队头数据
		QueuePop(&q);//出队列

		if (head == NULL){
			break;//遇到队列中空节点，退出循环
		}

		QueuePush(&q, head->left);
		QueuePush(&q, head->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* head = QueueFront(&q);//取队头数据
		QueuePop(&q);//出队列

		if (head != NULL)
		{
			//printf("不是完全二叉树\n");
			return false;
		}
	}

	QueueDestory(&q);//防止内存泄漏
	return true;
}

结语

链式二叉树的内容到这里就结束啦！

如果博客里面有讲的不清楚的地方，欢迎大家在评论区提出哦！

下篇博客将讲解一些有关二叉树的OJ题和概念选择题！我们不见不散哦~